Бифуркация

Термин бифуркация (букв. раздвоение) употребляется для обозначения качественной перестройки, изменения той или иной картины ѕ в нашем случае фазового портрета обыкновенного дифференциального уравнения при изменении входящего в это уравнение параметра. Простейшим примером может служить, например, изменение фазового портрета системы

при прохождении параметра e через 0: при e < 0 фазовый портрет представляет собой узел, а при e > 0 ѕ седло.

Из всего необъятного множества различных бифуркаций мы опишем лишь несколько простейших типов. Поскольку теория бифуркации требует довольно развитой техники, мы как правило не описываем даже идей доказательств.

Начнем с описания локальных бифуркаций состояния равновесия динамической системы. Мы будем рассматривать автономную системы обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром вида

xў = f(x, e), (1)

предполагая, что f : Rn ? R ® Rn ѕ непрерывно дифференцируемая функция. Допустим, что уравнение (1) при e = 0 имеет стационарную точку x0: f(x0,0) = 0. Будем говорить, что точка e = 0 является точкой локальной бифуркации динамической системы (1) со стационарной точкой x0, если найдутся сколь угодно малые значения e, при которых динамическая система (1) в окрестности точки x0 не является локально топологически эквивалентной системе, отвечающей нулевому значению параметра.
Допустим, что у матрицы [(¶f(x, e))/(¶x)]|(x, e) = (x0,0) нет собственных значений на мнимой оси. Тогда, в частности, в силу теоремы о неявной функции уравнение

f(x, e) = 0 (2)

локально однозначно определяет x через e, т. е. в малой окрестности точки x0 для любого достаточно малого e найдется единственное решение xe уравнения (2), или, что то же, стационарная точка уравнения (1). Кроме того, поскольку решение xe и матрица A(e) = [(¶f(x, e))/(¶x)]|(x, e) = (x0,0), а следовательно и ее собственные значения, непрерывно зависят от e, при малых e числа n-[A(e)] собственных значений этой матрицы с отрицательной вещественной частью и число n+[A(e)] собственных значений этой матрицы с положительной вещественной частью не зависят от e.

Поэтому из теоремы Гробмана ѕ Хартмана и теоремы о топологической эквивалентности линейных систем вытекает, что при малых e все динамические системы (1) в окрестности своих стационарных точек xe локально топологически эквивалентны, и следовательно, e = 0 не является точкой бифуркации.

Таким образом, чтобы точка e = 0 была точкой локальной бифуркации динамической системы (1) со стационарной точкой x0 необходимо, чтобы матрица A(0) имела хотя бы одно собственное значение на мнимой оси.

Мы рассмотрим только два случая выполнения этого условия: когда A(0) имеет простое нулевое собственное значение и когда A(0) имеет пару простых комплексно сопряженных мнимых собственных значений.

Для иллюстрации первого случая рассмотрим одномерную динамическую систему

xў = -x2+e (3)

При e < 0 эта система очевидно не имеет стационарных точек. При e = 0 происходит рождение полуустойчивой стационарной точки, которая при e > 0 превращается в две ѕ устойчивую и неустойчивую. Эта бифуркация в некотором смысле типична. В многомерном случае соответствующая типичная бифуркация, отвечающая наличию у матрицы A(0) нулевого собственного значения, получается как результат приписывания к уравнению (3) гиперболической системы (рис. 3).

Литература:

Систематическое описание бифуркаций двумерных динамических систем Современное изложение результатов и методов можно найти в [Арнольд, Итоги науки и техники..., Марсден ѕ Мак-Кракен].

Применение теории индекса к исследованию бифуркаций описано в [ Красносельский, Красносельский ѕ Забрейко].